MODEL SISTEM DINAMIS
Year | Population | Year | Population | Year | Population | Year | Population |
1790 | 3,929,000 | 1850 | 23,192,000 | 1910 | 91,972,000 | 1970 | 203,212,000 |
1800 | 5,308,000 | 1860 | 31,443,000 | 1920 | 105,711,000 | 1980 | 226,505,000 |
1810 | 7,240,000 | 1870 | 38,558,000 | 1930 | 122,755,000 | 1990 | 248,710,000 |
1820 | 9,638,000 | 1880 | 50,156,000 | 1940 | 131,669,000 | ||
1830 | 12,866,000 | 1890 | 62,948,000 | 1950 | 150,697,000 | ||
1840 | 17,069,000 | 1900 | 75,995,000 | 1960 | 179,323,000 |
The following data represent the U.S population from 1790-1990.
Find a dynamical system that fit the data fairly well. Test your model by plotting the predictions of the model against the data.
- LATAR BELAKANG
Pemerintah U.S menyadari bahwa stok pangan yang tersisa ternyata mulai menipis. Kemudian pemerintah U.S mencoba mencari tahu mengapa stok pangan menipis. Pemerintah U.S menduga pertambahan penduduk mempengaruhi menipisnya stok pangan yang tersisa. Pemerintah U.S mencari data dari sensus penduduk yang dilakukan setiap 10 tahun. Ternyata, setelah mengetahui data pertambahan populasi penduduk dari tahun 1970-1990 maka disimpulkan bahwa pertambahan populasi penduduk U.S sangat tinggi. Oleh karena itu pemerintah U.S berusaha menekan pertambahan populasi penduduk U.S agar dapat diprediksi berapa stok pangan yang harus disediakan oleh pemerintah U.S. Karena itu pula maka pemerintah U.S ingin mencari model sistem dinamis yang dapat digunakan untuk mengetahui berapa besar pertambahan populasi penduduk pada tahun ke-n.
- PERUMUSAN MASALAH
- Bagaimana mencari model sistem dinamis yang dapat digunakan untuk mengetahui pertambahan populasi penduduk pada tahun ke-n?
- Asumsi:
- Angka kelahiran lebih besar daripada angka kematian.
- Jumlah penduduk yang datang lebih besar daripada jumlah penduduk yang pergi.
- Selang waktu pengamatan setiap 10 tahun sekali.
- Semua penduduk U.S. mengikuti sensus penduduk yang diadakan pemerintah U.S.
- Data merupakan data yang valid (tepat, akurat).
- Perumusan Masalah Matematik
Dalam makalah ini, kami menggunakan 2 model penyelesaian yang kami namai model 1 dan model 2.
MODEL 1
Perumusan Masalah Matematik
Penyelesaian Masalah:
Notasi:
- Po : jumlah populasi pada tahun 1790 = 3,929,000
- Pn : jumlah populasi pada tahun ke-n
- Pn-1 : jumlah populasi pada 10 tahun sebelum tahun ke-n.
- J : rata-rata pertumbuhan populasi penduduk dari tahun 1790-1990.
- n = 0, 1, 2, …
Dimisalkan:angka kelahiran : L
angka kematian : K
jumlah penduduk yang datang : P
jumlah penduduk yang pergi : Q
Maka, dari asumsi didapat:
- Angka kelahiran lebih besar daripada angka kematian = L > K
- Jumlah penduduk yang datang lebih besar daripada jumlah penduduk yang pergi = P > Q
Jika L > K dan P > Q maka L – K = Pn – Pn-1 dan P – Q = Pn – Pn-1, dimana Pn – Pn-1 adalah pertambahan populasi
Rata-rata jumlah populasi dari seluruh data dapat dicari dengan menggunakan:
Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 =
No. | Tahun | Pn – Pn-1 | No. | Tahun | Pn – Pn-1 |
1 | P1 – P0 | 1,379,000 | 11 | P11 – P10 | 13,047,000 |
2 | P2 – P1 | 1,932,000 | 12 | P12 – P11 | 15,977,000 |
3 | P3 – P2 | 2,398,000 | 13 | P13 – P12 | 13,739,000 |
4 | P4 – P3 | 3,228,000 | 14 | P14 – P13 | 17,044,000 |
5 | P5 – P4 | 4,203,000 | 15 | P15 – P14 | 8,914,000 |
6 | P6 – P5 | 6,123,000 | 16 | P16 – P15 | 19,028,000 |
7 | P7 – P6 | 8,251,000 | 17 | P17 – P16 | 28,626,000 |
8 | P8 – P7 | 7,155,000 | 18 | P18 – P17 | 23,889,000 |
9 | P9 – P8 | 11,598,000 | 19 | P19 – P18 | 23,293,000 |
10 | P10 – P9 | 12,792,000 | 20 | P20 – P19 | 22,205,000 |
Jumlah | 244,781,000 | ||||
Rata-rata jumlah populasi dari seluruh data dapat dicari dengan menggunakan:
Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 = = 12,239,050 12,300,000
Maka, rata-rata populasi dari seluruh data adalah 12,239,050 yang dibulatkan menjadi 12,300,000.
Jadi, diasumsikan bahwa rata-rata pertambahan populasi dari seluruh data adalah 12,300,000.
Rumusan Matematika:
J = 12,300,000
Po = 3,929,000
P1 = 3,929,000 + 12,300,000
= 16,229,000
P2 = 16,229,000 + 12,300,000
= 28,529,000
P3 = 28,529,000 +12,300,000
= 40,829,000
.
.
.
Po = 3,929,000
P1 = Po + J
P2 = P1 + J
P3 = P2 + J
.
.
.
Pn = Pn-1+ J
Jadi model sistem dinamisnya adalah Pn = Pn-1+ J. Model sistem dinamis tersebut menyulitkan perhitungan karena kita harus mengetahui Pn-1. Maka dibuatlah model sistem dinamis dibawah ini.
Po = 3,929,000
P1 = Po + J
P2 = P1 + J = Po + J + J = Po + 2J
P3 = P2 + J = Po + 2J + J = Po + 3J
.
.
.
Pn = Po + n.J
Jadi sistem dinamisnya adalah
Grafik pertambahan jumlah penduduknya adalah sebagai berikut:
Interpretasi:
Jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n bergantung pada jumlah populasi penduduk pada tahun ke-0 ditambah dengan n kali rata-rata laju pertumbuhan populasi.
Year | Population | Year | Population | Year | Population | Year | Population |
1790 | 3,929,000 | 1850 | 77,729,000 | 1910 | 151,529,000 | 1970 | 225,329,000 |
1800 | 16,229,000 | 1860 | 90,029,000 | 1920 | 163,829,000 | 1980 | 237,629,000 |
1810 | 28,529,000 | 1870 | 102,329,000 | 1930 | 176,129,000 | 1990 | 249,929,000 |
1820 | 40,829,000 | 1880 | 114,629,000 | 1940 | 188,429,000 | ||
1830 | 53,129,000 | 1890 | 126,929,000 | 1950 | 200,729,000 | ||
1840 | 65,429,000 | 1900 | 139,229,000 | 1960 | 213,029,000 |
Validitas:
Perhitungan di atas kurang dapat mendekati kenyataan karena pada tahun 1800 jumlah penduduk adalah 16,229,000, padahal data asli menunjukkan jumlah populasi sebesar 5,308,000. Demikian juga pada tahun-tahun setelahnya. Dengan demikian maka akan digunakan cara penyelesaian yang kedua, yaitu:
MODEL 2
Perumusan Masalah Matematik
Penyelesaian Masalah:
Notasi:
- P0 : jumlah populasi pada tahun 1790
- Pn : jumlah populasi pada tahun ke-n
- Pn-1: :jumlah populasi pada 10 tahun sebelum tahun ke-n.
- J : rata-rata pertumbuhan populasi penduduk dari tahun 1790-1990 (dalam persen).
- n = 0, 1, 2, …
Dimisalkan:
- angka kelahiran : L
- angka kematian : K
- jumlah penduduk yang datang : P
- jumlah penduduk yang pergi : Q
Maka, dari asumsi didapat:
- Angka kelahiran lebih besar daripada angka kematian = L > K
- Jumlah penduduk yang datang lebih basar daripada jumlah penduduk yang pergi = P > Q
Maka, dari 1 dan 2 didapat:
Jika L > K dan P > Q maka L – K = Pn – Pn-1 dan P – Q = Pn – Pn-1, dimana Pn – Pn-1 adalah pertambahan populasi
Rata-rata jumlah populasi dari seluruh data dapat dicari dengan menggunakan:
Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 (dalam persen) =
Pertama akan dicari terlebih dahulu Pn – Pn-1. Setelah itu, dicari prosentase dari. Pn – Pn-1. Data tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:
No. | Tahun | Pn – Pn-1 (%) | No. | Tahun | Pn – Pn-1 (%) |
1 | P1 – P0 | 35,10 | 11 | P11 – P10 | 20,73 |
2 | P2 – P1 | 36,40 | 12 | P12 – P11 | 21,02 |
3 | P3 – P2 | 33,12 | 13 | P13 – P12 | 14,94 |
4 | P4 – P3 | 33,49 | 14 | P14 – P13 | 16,12 |
5 | P5 – P4 | 32,67 | 15 | P15 – P14 | 7,26 |
6 | P6 – P5 | 35,87 | 16 | P16 – P15 | 14,45 |
7 | P7 – P6 | 35,58 | 17 | P17 – P16 | 19 |
8 | P8 – P7 | 22,63 | 18 | P18 – P17 | 13,32 |
9 | P9 – P8 | 30,08 | 19 | P19 – P18 | 11,46 |
10 | P10 – P9 | 25,50 | 20 | P20 – P19 | 9,80 |
Jumlah | 468.54 | ||||
Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 (%) =
= = 23,427 24
Maka didapat rata-rata prosentase jumlah populasi dari seluruh data adalah 24%.
Jadi, diasumsikan bahwa prosentase rata-rata pertambahan jumlah populasi penduduk dari seluruh data (J) adalah 24%.
Rumusan Matematika:
J = 24%
P0 = 3,929,000
P1 = 3,929,000 + 0,24 x 3,929,000
= 4,871,960
P2 = 4,871,960 + 0,24 x 4,871,960
= 6,041,230.4
P3 = 6,041,230.4 + 0,24 x 6,041,230.4
= 7,491,125.696
.
.
.
P0 = 3,929,000
P1 = P0 + 0,24 P0 = (1 + 0,24) P0 = 1,24 P0
P2 = P1 + 0,24 P1 = (1 + 0,24) P1 = 1,24 P1
P3 = P2 + 0,24 P2 = (1 + 0,24) P2 = 1,24 P2
.
.
.
Pn = 1,24 Pn-1
Model sistem dinamis sederhana adalah
Dengan P0 = 3,929,000
n = 0, 1, 2, …
Interpretasi:
Jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n bergantung pada jumlah populasi penduduk pada 10 tahun sebelumnya dikali dengan 24% sehingga diperoleh Pn= 1,24 Pn-1. Untuk mengetahui jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n maka perlu diketahui terlebih dahulu jumlah populasi penduduk pada 10 tahun sebelumnya. Sehingga apabila pemerintah U.S ingin mengetahui jumlah populasi penduduk pada tahun ke-30 maka pemerintah U.S harus menghitung untuk mengetahui jumlah populasi penduduk pada tahun ke-29. Hal tersebut menyulitkan perhitungan. Maka untuk dapat memudahkan perhitungan yang tidak perlu diketahui 10 tahun sebelumnya, dibuatlah model sistem dinamis yang tidak bergantung pada 10 tahun sebelumnya, yaitu:
P0 = 3,929,000
P1 = Po + 0,24 Po = (1 + 0,24) Po
= 1,24 Po
P2 = P1 + 0,24 P1 = (1 + 0,24) P1 = 1,24 P1 = 1,24 (1,24 Po)
= 1,242 Po
P3 = P2 + 0,24 P2 = (1 + 0,24) P2 = 1,24 P2 = 1,24 (1,242 Po)
= 1,243 Po
.
.
.
Pn = 1,24n P0
Model sistem dinamis adalah
Dengan P0 = 3,929,000
n = 0, 1, 2, …
Year | Population | Year | Population | Year | Population | Year | Population |
1790 | 3,929,000 | 1850 | 14,282,760.04 | 1910 | 51,920,904.64 | 1970 | 188,743,655.4 |
1800 | 4,871,960 | 1860 | 17,710,622.45 | 1920 | 64,381,921.75 | 1980 | 234,042,132.7 |
1810 | 6,041,230.4 | 1870 | 21,961,171.84 | 1930 | 79,833,582.98 | 1990 | 290,212,244.5 |
1820 | 7,491,125.696 | 1880 | 27,231,853.08 | 1940 | 98,993,642.89 | ||
1830 | 9,288,995.863 | 1890 | 33,767,497.82 | 1950 | 122,752,117.2 | ||
1840 | 11,518,354.87 | 1900 | 41,871,697.29 | 1960 | 152,212,625.3 |
Interpretasi :
Jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n bergantung pada jumlah populasi penduduk pada awal tahun dikali dengan 1,24n.
Validitas:
Dari data-data di atas maka dapat dibuat grafik yang membandingkan data asli, model 1, dan model 2, yaitu seperti grafik di bawah ini:
Dari data di atas dapat disimpulkan bahwa model sistem dinamis yang mendekati data asli adalah model yang kedua, yaitu Pn = 1,24n P0.
Jadi model sistem dinamis yang dapat digunakan untuk mengetahui pertambahan populasi penduduk pada tahun ke-n adalah Pn = 1,24n P0.
0 komentar:
Post a Comment