MODEL SISTEM DINAMIS

 

Year	Population	Year	Population	Year	Population	Year	Population
1790	3,929,000	1850	23,192,000	1910	91,972,000	1970	203,212,000
1800	5,308,000	1860	31,443,000	1920	105,711,000	1980	226,505,000
1810	7,240,000	1870	38,558,000	1930	122,755,000	1990	248,710,000
1820	9,638,000	1880	50,156,000	1940	131,669,000
1830	12,866,000	1890	62,948,000	1950	150,697,000
1840	17,069,000	1900	75,995,000	1960	179,323,000

The following data represent the U.S population from 1790-1990.

Find a dynamical system that fit the data fairly well. Test your model by plotting the predictions of the model against the data.

 

1. LATAR BELAKANG
   

   Pemerintah U.S menyadari bahwa stok pangan yang tersisa ternyata mulai menipis. Kemudian pemerintah U.S mencoba mencari tahu mengapa stok pangan menipis. Pemerintah U.S menduga pertambahan penduduk mempengaruhi menipisnya stok pangan yang tersisa. Pemerintah U.S mencari data dari sensus penduduk yang dilakukan setiap 10 tahun. Ternyata, setelah mengetahui data pertambahan populasi penduduk dari tahun 1970-1990 maka disimpulkan bahwa pertambahan populasi penduduk U.S sangat tinggi. Oleh karena itu pemerintah U.S berusaha menekan pertambahan populasi penduduk U.S agar dapat diprediksi berapa stok pangan yang harus disediakan oleh pemerintah U.S. Karena itu pula maka pemerintah U.S ingin mencari model sistem dinamis yang dapat digunakan untuk mengetahui berapa besar pertambahan populasi penduduk pada tahun ke-n.
   

   
    

2. PERUMUSAN MASALAH
   
   1. Bagaimana mencari model sistem dinamis yang dapat digunakan untuk mengetahui pertambahan populasi penduduk pada tahun ke-n?
      

   
    

   
    

   
    

3. Asumsi:
   

• Angka kelahiran lebih besar daripada angka kematian.
  
• Jumlah penduduk yang datang lebih besar daripada jumlah penduduk yang pergi.
  
• Selang waktu pengamatan setiap 10 tahun sekali.
  
• Semua penduduk U.S. mengikuti sensus penduduk yang diadakan pemerintah U.S.
  
• Data merupakan data yang valid (tepat, akurat).
  

  
   

1. Perumusan Masalah Matematik
   

   Dalam makalah ini, kami menggunakan 2 model penyelesaian yang kami namai model 1 dan model 2.
   

   MODEL 1
   

   Perumusan Masalah Matematik
   

Penyelesaian Masalah:

Notasi:

• P_o        : jumlah populasi pada tahun 1790 = 3,929,000
  
• P_n        : jumlah populasi pada tahun ke-n
  
• P_n-1    : jumlah populasi pada 10 tahun sebelum tahun ke-n.
  
• J        : rata-rata pertumbuhan populasi penduduk dari tahun 1790-1990.
  
• n        = 0, 1, 2, …
  

Dimisalkan:angka kelahiran : L

        angka kematian : K

        jumlah penduduk yang datang : P

        jumlah penduduk yang pergi : Q

Maka, dari asumsi didapat:

1. Angka kelahiran lebih besar daripada angka kematian = L > K
   
2. Jumlah penduduk yang datang lebih besar daripada jumlah penduduk yang pergi = P > Q
   

Maka, dari 1 dan 2 didapat:

Jika L > K dan P > Q maka L – K = P_n – P_n-1 dan P – Q = P_n – P_n-1, dimana P_n – P_n-1 adalah pertambahan populasi

Rata-rata jumlah populasi dari seluruh data dapat dicari dengan menggunakan:

Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 =

No.	Tahun	Pn – Pn-1	No.	Tahun	Pn – Pn-1
1	P1 – P0	1,379,000	11	P11 – P10	13,047,000
2	P2 – P1	1,932,000	12	P12 – P11	15,977,000
3	P3 – P2	2,398,000	13	P13 – P12	13,739,000
4	P4 – P3	3,228,000	14	P14 – P13	17,044,000
5	P5 – P4	4,203,000	15	P15 – P14	8,914,000
6	P6 – P5	6,123,000	16	P16 – P15	19,028,000
7	P7 – P6	8,251,000	17	P17 – P16	28,626,000
8	P8 – P7	7,155,000	18	P18 – P17	23,889,000
9	P9 – P8	11,598,000	19	P19 – P18	23,293,000
10	P10 – P9	12,792,000	20	P20 – P19	22,205,000
Jumlah					244,781,000

Rata-rata jumlah populasi dari seluruh data dapat dicari dengan menggunakan:

Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 = = 12,239,050 12,300,000

Maka, rata-rata populasi dari seluruh data adalah 12,239,050 yang dibulatkan menjadi 12,300,000.

Jadi, diasumsikan bahwa rata-rata pertambahan populasi dari seluruh data adalah 12,300,000.

Rumusan Matematika:

J         = 12,300,000

Po        = 3,929,000

P₁        = 3,929,000 + 12,300,000

        = 16,229,000

P₂        = 16,229,000 + 12,300,000

        = 28,529,000

P₃        = 28,529,000 +12,300,000

        = 40,829,000

.

.

.

P_o        = 3,929,000

P₁        = P_o + J

P₂        = P₁ + J

P₃        = P₂ + J

.

.

.

Pn        = P_n-1+ J

Jadi model sistem dinamisnya adalah Pn = P_n-1+ J. Model sistem dinamis tersebut menyulitkan perhitungan karena kita harus mengetahui P_n-1. Maka dibuatlah model sistem dinamis dibawah ini.

P_o        = 3,929,000

P₁        = P_o + J

P₂        = P₁ + J = P_o + J + J = Po + 2J

P₃        = P₂ + J = P_o + 2J + J = P_o + 3J

.

.

.

Pn        = P_o + n.J

Jadi sistem dinamisnya adalah

 

 

Grafik pertambahan jumlah penduduknya adalah sebagai berikut:

 

Interpretasi:

    Jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n bergantung pada jumlah populasi penduduk pada tahun ke-0 ditambah dengan n kali rata-rata laju pertumbuhan populasi.

Year	Population	Year	Population	Year	Population	Year	Population
1790	3,929,000	1850	77,729,000	1910	151,529,000	1970	225,329,000
1800	16,229,000	1860	90,029,000	1920	163,829,000	1980	237,629,000
1810	28,529,000	1870	102,329,000	1930	176,129,000	1990	249,929,000
1820	40,829,000	1880	114,629,000	1940	188,429,000
1830	53,129,000	1890	126,929,000	1950	200,729,000
1840	65,429,000	1900	139,229,000	1960	213,029,000

Validitas:

 

Perhitungan di atas kurang dapat mendekati kenyataan karena pada tahun 1800 jumlah penduduk adalah 16,229,000, padahal data asli menunjukkan jumlah populasi sebesar 5,308,000. Demikian juga pada tahun-tahun setelahnya. Dengan demikian maka akan digunakan cara penyelesaian yang kedua, yaitu:

 

MODEL 2

Perumusan Masalah Matematik

 

Penyelesaian Masalah:

Notasi:

• P₀    : jumlah populasi pada tahun 1790
  
• P_n    : jumlah populasi pada tahun ke-n
  
• P_n-1:     :jumlah populasi pada 10 tahun sebelum tahun ke-n.
  
  • J    : rata-rata pertumbuhan populasi penduduk dari tahun 1790-1990 (dalam persen).
    
• n    = 0, 1, 2, …
  

 

 

Dimisalkan:

• angka kelahiran : L
  
• angka kematian : K
  
• jumlah penduduk yang datang : P
  
• jumlah penduduk yang pergi : Q
  

Maka, dari asumsi didapat:

1. Angka kelahiran lebih besar daripada angka kematian = L > K
   
2. Jumlah penduduk yang datang lebih basar daripada jumlah penduduk yang pergi = P > Q
   

Maka, dari 1 dan 2 didapat:

Jika L > K dan P > Q maka L – K = P_n – P_n-1 dan P – Q = P_n – P_n-1, dimana P_n – P_n-1 adalah pertambahan populasi

Rata-rata jumlah populasi dari seluruh data dapat dicari dengan menggunakan:

Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 (dalam persen) =

Pertama akan dicari terlebih dahulu P_n – P_n-1. Setelah itu, dicari prosentase dari. P_n – P_n-1. Data tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:

No.	Tahun	Pn – Pn-1 (%)	No.	Tahun	Pn – Pn-1 (%)
1	P1 – P0	35,10	11	P11 – P10	20,73
2	P2 – P1	36,40	12	P12 – P11	21,02
3	P3 – P2	33,12	13	P13 – P12	14,94
4	P4 – P3	33,49	14	P14 – P13	16,12
5	P5 – P4	32,67	15	P15 – P14	7,26
6	P6 – P5	35,87	16	P16 – P15	14,45
7	P7 – P6	35,58	17	P17 – P16	19
8	P8 – P7	22,63	18	P18 – P17	13,32
9	P9 – P8	30,08	19	P19 – P18	11,46
10	P10 – P9	25,50	20	P20 – P19	9,80
Jumlah					468.54

Rata-rata populasi penduduk tahun 1790-1990 (%) =

= = 23,427 24

Maka didapat rata-rata prosentase jumlah populasi dari seluruh data adalah 24%.

Jadi, diasumsikan bahwa prosentase rata-rata pertambahan jumlah populasi penduduk dari seluruh data (J) adalah 24%.

Rumusan Matematika:

J    = 24%

P₀    = 3,929,000

P₁    = 3,929,000 + 0,24 x 3,929,000

    = 4,871,960

P₂    = 4,871,960 + 0,24 x 4,871,960

    = 6,041,230.4

P₃    = 6,041,230.4 + 0,24 x 6,041,230.4

    = 7,491,125.696

.

.

.

P₀    = 3,929,000

P₁    = P₀ + 0,24 P₀ = (1 + 0,24) P₀ = 1,24 P₀

P₂    = P₁ + 0,24 P₁ = (1 + 0,24) P₁ = 1,24 P₁

P₃    = P₂ + 0,24 P₂ = (1 + 0,24) P₂ = 1,24 P₂

.

.

.

P_n    = 1,24 P_n-1

Model sistem dinamis sederhana adalah

 

 

Dengan P₀ = 3,929,000

n = 0, 1, 2, …

 

Interpretasi:

Jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n bergantung pada jumlah populasi penduduk pada 10 tahun sebelumnya dikali dengan 24% sehingga diperoleh P_n= 1,24 P_n-1. Untuk mengetahui jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n maka perlu diketahui terlebih dahulu jumlah populasi penduduk pada 10 tahun sebelumnya. Sehingga apabila pemerintah U.S ingin mengetahui jumlah populasi penduduk pada tahun ke-30 maka pemerintah U.S harus menghitung untuk mengetahui jumlah populasi penduduk pada tahun ke-29. Hal tersebut menyulitkan perhitungan. Maka untuk dapat memudahkan perhitungan yang tidak perlu diketahui 10 tahun sebelumnya, dibuatlah model sistem dinamis yang tidak bergantung pada 10 tahun sebelumnya, yaitu:

P₀    = 3,929,000

P₁    = P_o + 0,24 P_o = (1 + 0,24) P_o

    = 1,24 P_o

P₂    = P₁ + 0,24 P₁ = (1 + 0,24) P₁ = 1,24 P₁ = 1,24 (1,24 P_o)

    = 1,24² P_o

P₃    = P₂ + 0,24 P₂ = (1 + 0,24) P₂ = 1,24 P₂ = 1,24 (1,24² P_o)

    = 1,24³ P_o

.

.

.

P_n    = 1,24ⁿ P₀

Model sistem dinamis adalah

 

 

Dengan P₀ = 3,929,000

     n = 0, 1, 2, …

Year	Population	Year	Population	Year	Population	Year	Population
1790	3,929,000	1850	14,282,760.04	1910	51,920,904.64	1970	188,743,655.4
1800	4,871,960	1860	17,710,622.45	1920	64,381,921.75	1980	234,042,132.7
1810	6,041,230.4	1870	21,961,171.84	1930	79,833,582.98	1990	290,212,244.5
1820	7,491,125.696	1880	27,231,853.08	1940	98,993,642.89
1830	9,288,995.863	1890	33,767,497.82	1950	122,752,117.2
1840	11,518,354.87	1900	41,871,697.29	1960	152,212,625.3

Interpretasi :

 

Jumlah populasi penduduk pada tahun ke-n bergantung pada jumlah populasi penduduk pada awal tahun dikali dengan 1,24ⁿ.

Validitas:

Dari data-data di atas maka dapat dibuat grafik yang membandingkan data asli, model 1, dan model 2, yaitu seperti grafik di bawah ini:

 

Dari data di atas dapat disimpulkan bahwa model sistem dinamis yang mendekati data asli adalah model yang kedua, yaitu P_n = 1,24ⁿ P₀.

Jadi model sistem dinamis yang dapat digunakan untuk mengetahui pertambahan populasi penduduk pada tahun ke-n adalah P_n = 1,24ⁿ P₀.